Ծնվել է 1905թ․ Ղարաքիլիսայում (այժմ Վանաձոր)։
1936թ․ ավարտել է Երևանի Կ․ Մարքսի անվան պոլիտեխնիկական ինստիտուտը։
Ղեկավարել է Ծանր արդյունաբերության ժողովրդական կոմիսարիատի ուսումնական հաստատությունների վարչությունը։ Այնուհետև նշանակվել է ինժեներատեխնիկական աշխատողների որակավորման բարձրացման ինստիտուտի դիրեկտոր։
1941թ․ հունվարին ընտրվել է Հայաստանի կոմունիստական կուսակցության Երևանի քաղաքային կոմիտեի քարտուղար։ Նույն թվականի հունիսին սկսվեց Հայրենական մեծ պատերազմը և Պետրոս Մելքոնյանը մեկնեց ռազմաճակատ։
1942թ․ հունիսից՝ 236-րդ կործանիչ ավիադիվիզիայի կազմավորման օրվանից, աշխատել է որպես քաղաքական բաժնի պետի տեղակալ՝ այն համատեղելով դիվիզիայի կուսակցական հանձնաժողովի պատասխանատու քարտուղարի պաշտոնի հետ։
Հայրենական պատերազմում պարգևատրվել է Հայրենական պատերազմի 1-ին աստիճանի, «Կարմիր աստղ» և «Պատվո նշան» շքանշաններով ու մեդալներով։
1946թ․ հոկտեմբերին Մեծ հայրենականի մասնակից, Ավիացիոն դիվիզիայի քաղբաժնի պետի տեղակալ, մայոր Պ․ Մելքոնյանը բանակից զորացրվելուց անմիջապես հետո նշանակվում է Երևանի Կ․ Մարքսի անվան պոլիտեխնիկական ինստիտուտի ռեկտոր և այն ղեկավարել մինչև 1965թ․ սեպտեմբեր ամիսը։